Algebra

Ordet algebra kommer från arabiskans al-djebr, الجبر, vilket betyder "koppling" eller "återförening". Den har utvecklats ur aritmetiken och geometrin. På 1600 talet utvecklades den symboliska algebran och det var genom bokstavssymbolerna som generella lösningsmetoder blev möjliga.

Den historiska utvecklingen av algebran följer tre faser: retoriska fasen (inga symboler för okända tal används, stegvisa beräkningen beskrivs med ord), synkoperad fasen (bokstäver används för att betäckna okända tal, går att formulera algebraiska ekvationer och beskriva problemens struktur) symboliska fasen (bokstäver används för att betäckna även kända och godtyckliga tal, vilket innebär att skriva formler och generalisera för att bevisa aritmetiska räkneregler). När eleverna lär sig algebra kan man nyttja progressionen genom dessa faser.

Kunskap att behärska algebra bidrar till utvecklandet av logiskt tänkande och ger oss kraftfulla redskap att kritiskt genomskåda och lösa problem.  Algebra handlar om att se relationer, mönster och samband. Förmågor som tränas är att förenkla, strukturera och generalisera. Men framförallt om att kunna föra kvalitativa resonemang om tal och genom abstraktion formulera en generell formel som alltid gäller.

Tidig algebra introducerar algebraiska grundprinciper och symboler samtidigit som aritmetiken, från början i utbildningen av barn. Det är viktigt kunnande som ger en förståelse av världen och inför den algebra som de möter i högre utbildning. Tidig algebra handlar om att generalisera aritmetiken vilket leder till mindre räknande eftersom man ser strukturerna och kopplar relationerna.

Algebra som ska behandlas i årskurs 1-3 är talmönster, obekanta tal, likheter, likhetstecknets betydelse, symbolers användning vid stegvisa instruktioner, enkla mönster i talföljder, enkla geometriska mönster och proportionella samband, programmering, formler. 

Algebra i skolan innebär att eleverna ska se om deras sätt att tänka när de räknar går att generalisera. Det är resonemanget om hur de tänker när de löser uppgifterna.

Relationer:

Om A är högre/tyngre/längre/bredare än B så finns det en skillnad som är C. Ett exempel på hur relationer kan tydliggöras är att ha två lika långa remsor och klippa en remsa i två delar och namnge de tre för A, B och C, där A är hel:

A=B+C
A=C+B
A-C=B
A-B=C

En storhet är en kvantitet som kan mätas, jämföras och beräknas. Exempel är längd och vikt. Storleken anges med ett mätetal och en enhet eller sammansatt enhet.

Utan att veta de exakta värdena går det att resonera om sambanden. Exempelvis Hur många B ryms i A och hur många C ryms i A hur kommer det sig att det ryms fler C än B i A? 

Generalisering

Innebär att upptäcka relationer och strukturer och se att dessa är överförbara och går att upprepa.

Generalisering, ex på att förstå udda och jämnt:

• Addera två jämna tal.
• Addera två udda tal.
• Addera ett jämnt och ett udda tal.
• Vad händer? Ser du ett mönster? Förklara varför det alltid blir så. Vad är det som gör att det blir så?
• Använd papper och penna och konkret material som centikuber t ex (Bråting och Madej, 2017)

Tal

Begreppet tal får inom algebran en abstraktion genom symbolerna och är frikopplade från enhet och antal i den mening att symbolerna symnoliseras alla tänkbara värden. I matematikens talteori finns mycket att hämta för att synliggöra algebra ex udda och jämnt som ovan.

Funktion

Begreppet funktion innebär att om om det ena värdet ändras så ändras även det andra värdet, det är en statisk relation mellan element i två mängder. Funktionsmaskinen är en aktivitet i matematikundervisningen där en elev matar in ett invärde genom eleven som är funktionsmaskin "formeln", eleven ger tillbaka ett utvärde. Tanken är att gissa formeln t ex.

Likhet

Likhetstecknet innebär att vänsterled och högerled är lika. Det finns olika sätt att visualisera och konkretisera det. En vanlig metod är balansvågen.

Dynamisk uppfattning av likhetstecknet innebär att se på beräkningar som en förändring, något "blir", det utförs en procedur. I en statisk uppfattning innebär det att inget händer, det får ett annat uttryck och är "lika med". Likhetstecknet visar sambandet och synliggör strukturer och principer som ex strukturen a+b=c, b+a=c, a-c=b, a-b=c. 

Som lärare är det viktigt att tänka på hur frågor formuleras för att skapa algebraiskt tänkande, exempelvis att be om uttryck genom att fokusera på representationen (summan är, har totalt, lika med, ge ett uttryck för) istället för att fokusera på antal och förändring (addera så får du, blir det, hur många) och beräkning i en uppgift.

Vanliga missuppfattningar som eleverna gör är när de inte förstått likhetstecknet är:

Exempeltal 5+10=__+2

• Räknar ut endast 5+10 och svarar direkt efter likhetstecknet. 
• Räknar först ut VL och skriver svaret direkt efter likhettecknet, summerar därefter med 2.

Det saknas en förståelse för att likhetstecknet betecknar en relation mellan två ekvationer eller mellan två tal och att likhetstecknet uppfattas som en uppmaning till att göra en beräkning.

Förbygg genom att visa konkret med våg och låta eleverna träna på talkedjor (10=5+5=2+8=6+4..osv) och övningar där eleverna får räkna med öppna utssagor och från vänster till höger ( __= 4+6 och 10 = __+ 7). Arbeta med att jämföra tal som lika med, större eller mindra än ( 12>8, 3+4<9-1, 6+2=4+4).

Obekant tal

Obekant tal representeras av bokstäver som har ett bestämt värde i en ekvation där bokstavens värde ska bestämmas. 

Godtyckligt tal

Godtyckliga tal representeras av bokstäver och anger vilket tal som helst i en given mängd. Exempelvis i räknelagar.

Variabel

En variabel representeras av en bokstav som är ett tal som kan ändra värde. Används i formler och funktionsuttryck.

Parametrar

Är variabler som kan tilldelas specifika värden och vara konstanta tal i en situation under en viss tid. Exempel: I räta linjens ekvation y= kx+m är y och x variabler och k och m parametrar som kan tilldelas värden k anger riktning "lutning" och m var på y axeln linjen skär.

Ekvationer

En ekvation är en matematisk utsaga som innehåller en likhet. 

Exempel:

• a+b=b+a
• 2+3=5
• 2+__=5
• 2x+3=1,5
• 5+3-1=7

Det är det obekanta talets värde som gör lösningen i en ekvation sann. Kunskaper som eleverna behöver är att uppfatta regler och att sätta ord på vad som frågas efter. "För vilka värden på x är denna likhet sann?"

Problemlösning i fem steg:

1. Förstå problemet/händelsen. Vad är uppgiften?
2. Gör ett antagande/översätt till ekvation med ord. Vad är det obekanta? Anta att x är...
3. Skriv en ekvation/ett algebraiskt uttryck som synliggör vad x är lika med.
4. Lös ekvaktionen/skriv om, förenkla så långt det går.
5. Svar, formulera ett svar som utgår från frågan.

Aktivitet: 

Tändsticksaskar med tändstickor: 3 askar+ 1 sticka = 2 askar + 8 stickor 

 Lägg upp aska och tändstickor som ekvationer på en bricka. Låt eleverna fundera och räkna på hur många stickor det äri varje ask. Ha olika ekvationer så att elevgrupperna kan byta med varandra efter en tid.

Fromella och informella metoder:

Informella metoder:

• Talfakta (ex tiokamrater, dubblor, tabellkunskap)
• Gissa och pröva (anta att, nej det var för lite och det var för mycket, då prövar jag något emellan)
• Övertäckning  (Håll över en del av ekvationen eller x)
• Arbeta baklänges (räkna med inverser)

• Gör lika på båda sidor (det du lägger till eller tar bort måste göras på båda sidor om likhetstecknet)
• Flytta över och byt räknesätt (risk för räknemiss)

Ekvivalent ekvation

Två ekvationer är ekvivalenta deras uttryck anger somma mängd/antal.

Ekvationslösning

Ekvationslösning kan ses som att ta fram ekvivalenta ekvationer som förenklas så långt det går.

Uttryck

Ett matematiskt uttryck är ett uttryck som består av siffror, tecken och bokstäver för att beskriva händelser eller samband. Numeriska uttryck är utan variabler. Algebraiska uttryck kan ha variabler. Konstanter är termer som innehåller siffror. Variabler är termer som innehåller bokstäver eller bokstäver och siffror. 

Mönster

Upprepade mönster

Består av sekvenser som upprepar sig.

• ABCABCABC eller ABABAB eller ABBABBABB (Markworth 2016)
• 1,2,3,1,2,3,1,2,3
• Rörelser och ramsor.

Växande mönster

Består av sekvenser som ökar/minskar.

• Talföljer som 0,1,2,3,4,5,6,7.. eller 0,2,4,6,8,10,12..
• Geometriska mönster är figurer som byggs på med byggdelar (former som figuren består av)

Växande mönster med tändstickor figur ett en triangel med tre stickor.

Figur ett har tre tändstickor, figur två har 5 och figur 3 har 7 st. Formel: an = 2n + 1. 2 för ökningen och + 1 för antalet i figur 0.

Växande mönster med tändstickor figur ett en rektangel med 6 tändstickor. 

Figur ett har sex tänsdtickor, figur två har 10 , figur tre har14 tändstickor. Formel: an = 4n+2. 4 för ökningen och +2 för antal stickor i figur 0.

Växande mönster av en rektangel med prickar (rektangeltal).

Figur ett 2prickar, figur två 6 prickar, figur tre 12 prickar, figur fyra 20 prickar. Formel an = n(n+1)

Växande mönster av en triangel med prickar (triangeltal).

Figur ett har en prick. Figur två har tre prickar och figur tre har sex prickar. Formel: an = n(n+1)/2 (här är det bättre att börja formeln på figur ett) Om figur ett istället börjar med tre prickar i ett triangeltal: an = (n+1)(n+2)/2

Tre nivåer att förstå mönster på:

En bra utgångspunkt vid planering av elevernas arbete med mönster.

• Perceptiv nivå: Jag ser mönstret. Jag kan upprepa mönstret eller fortsätta på mönstret.

• Verbal nivå: Jag kan beskriva mönstret för en kompis. Vad ändras? Hur många fler delar behövs för att bygga vidare?
• Symboliserande nivå: Jag kan beskriva mönstret generellt (hur ser figur nummer 100 ut? Det n:te talet) och beskriva sambandet med symbolspråk (na=n+1).

Använd olika sätt att att uttrycka matematik:

Konkret - saker

Logiskt - ord

Algebraiskt - formel

Grafiskt - tabell/strukturerad bild

Mönster i talföljder

Vad kan vi se för samband? Hur kan vi veta att det alltid gäller? Jämför 2:ans och 4:ans tabell.

Olika talföldjer

Polygontal (regelbunden månghörning):

• Triangeltal
• Kvadrattal
• Rektangeltal
• Pentagontal, hexagontal..

Kvadrattal

N=n2

Rektangeltal

N=n2+n

Triangeltal

N=n(n+1)/2

Aritmetisk talföljd

Aritmetisk talfölj är en följd av tal där differensen mellan tal i följden och det närmast föregående alltid är lika stor.

• Exempel där differnsen är 1: 1,2,3,4,5,6...
• Exempel där differensen är 5: 5,10,15,20,25..

Exempel på uppgift är tändsticksmönstret, som är en aritmetisk talföljd. Där ett mönster där en figur ökar med samma tal, med en konstant.

Allmän formel för aritmetisk talföljd är antalet i n = antal i 0 + kn 

Geometrisk talföljd

Geometrisk talföljd är en talföljd där kvoten mellan ett tal i följden och det närmaste föregående alltid är lika stor.

Allmän formel för geometrisk talföljd är antalet i n = antalet i 0 ∙ k upphöjt till n

Fibonaccis talföljd -  är kvoten av två på varandra följande tal och kommer nära det matematiker kallar det gyllene snittet 1, 618.

Talföljden: 1,1,2,3,5,8,13,21,34

Samband

Samband mellan storheter förekommer i vardagen 

Exempel:

• sträckor och tid - resan till mormor
• vikt och pris - lördagsgodiset
• höjd och bredd och mängd - volymen i olika glas

Många samband kan uttryckas som funktioner.

Funktioner

• Funktioner beskriver ett samband mellan två eller flera variabler.
• Värden ur en viss mängd, definitionsmängden, är entydigt kopplad med ett värde i en annan mängd, värdemängden.
• För varje värde på x finns det exakt ett värde på y. Exempel: sidans längd i en kvadrat och kvadratens area

Exempel problem:

Kalle handlar smågodis. Ett hektogram godis kostar 8 kronor

• Sambandet utgör funktionen
• Funktionen kan beskrivas med olika uttrycksformer: Bild/tabell/graf, konkret material, ord eller symbol/formel

Exempel konkret form

2 hg godis kostar 16 kr. Hur mycket kostar 3 hg?

Bild på godis i högar och pengar i högar.

Exempel språklig uttrycksform och tabell

2 hg godis kostar 16 kr. 1 hg kostar då hälften av 16 kr d.v.s. 8 kr.

3 hg kostar då 8 + 8 + 8 = 24 kr eller 3 · 8 = 24 kr.

Bild på tabell.

Grafisk uttrycksform

Algebraisk uttrycksform

Algebraisk formel kan användas för att beräkna det y-värde som hör ihop med ett x-värde

Ändras värdet på x, så ändras också värdet på y.

y - beroende variabel och x - oberoende variabel

"x bestämmer y" kan uttryckas som att y är en funktion av x.

y skrivs som f(x) "f av x" x hg kostar x · 8 kr eller f(x) = 8x

Funktionsvärdet f(x) representerar priset x representerar vikten i hg Ex. 3 hg kostar 8 · 3 = 24 kr

Räkna med funktioner

Beräkna f(5) om f(x) = 4 · (2x -3)

Sätt in 5 istället för x, vilket ger

f(5) = 4 · (2 · 5 - 3) = 4 · (10 - 3) = 4 · 7 = 28

Funktionsmaskin eller funktionslådor

y=x (sammat tal kommer ut). In(x): 0,1,2,3. Ut(y): 0,1,2,3.

y=2x (dubbla talet kommer ut). In(x): 0,1,2,3. Ut(y): 0,2,4,6.

y=2x+1 (dubbla talet + 1 kommer ut). In(x): 0,1,2,3. Ut(y): 1,3,5,7.

Koordinatsystem

• Koordinatsystem är sammansatta av två tallinjer (talaxlar)
• Att förstå tallinjer är grunden för att arbeta med koordinatsystem
• Oftast graderade med ental i början
• Origo är 0 punkten.
• Första kvadranten är x,y
• Andra kvadranten är -x,y
• Tredje kvadranten är -x,-y
• Fjärde kvadranten är x,-y
• x skrivs före y, kordinaterna (3,5) ger x=3 och y=5.

Att gradera tallinjer och axlar

Viktigt att tänka på:

• Lika intervall
• Anpassa gradering efter mätvärden och tallinjens längd
• Välj en lämplig gradering för uppgiften (ex 1,2,3...eller 5,10, 15... eller 50, 100, 150)
• Vanligt fel är att använda specifika mätvärden för gradering (ex 1, 4, 7, 8, 10)
• Skapa progression genom att gradera på olika sätt (ental, vartannat tal, tiotal, hundratal, o.s.v.)

Vanliga sätt att introducera koordinatsystem

Genom spel som schack och sänka skepp.

Observera att man i ett koordinatsystem aldrig hamnar i en ruta utan i skärningspunkten mellan två koordinater

Proportionalitet

• De flesta samband som studeras i grundskolan är proportionella
• Enkla proportionella sambanden hälften och dubbelt är centrala i f-3
• Ofta svårt begrepp trots att vi använder proportionalitet dagligen.

Exempel: omvandlar recept, tar ställning till priser utifrån jämförelsepriser, tar ställning till tider och sträckor m.m.

Proportionalitet och samband

Sambandet mellan två storheter är sådant att kvoten mellan dem är konstant

• Om x och y är proportionella finns en konstant k, sådan att y = kx
• Man säger " y är proportionell mot x"

Exempel: Om en portion ris utgörs av 0,75 dl så är 3 portioner = 3 · 0,75 = 2,25 dl

Proportionalitetskonstanten k är 0,75

Rismängden y är proportionell mot antalet portioner x y = 0,75x

Tröskelbegrepp

• Proportionalitet är ett så kallat tröskelbegrepp
• Tröskelbegrepp är ofta svåra
• När man har lärt sig begreppet öppnar sig nya möjligheter på många områden
• Bråk är ett annat exempel

Lösningsstrategi: Jämförelse inom system

En lösning utgår från förhållandet inom varje system (dvs varje fall)

Om 3 kg ekologiska kvisttomater kostar 87 kr, hur mycket kostar 5 kg tomater av samma sort?

87 kr/3 kg = x kr/5 kg

Lösningsstrategi: Jämförelse mellan system

En lösning utgår från förhållandet mellan varje system (dvs varje fall)

5 kg/3 kg = x kr/87 kr

Lösningsstrategi: Vägen över ett

Först beräknas värdet av en enhet och sedan beräknas svaret med hjälp av det.

1 kg kostar en tredjedel av 87 kr -> 87/3 = 29 kr/kg.

29 är proportionalitetskonstanten

5 kg kostar då fem gånger mer än ett kg

5 · 29 = 145

Svar 145 kr.

Proportionalitet i mönster

Ökar med en konstant och går alltid genom origo

Proportionella samband i grafer

Ger en graf som är en rät linje som går genom origo.

Exempel:

• Samband mellan vikt och pris
• Samband mellan tid och sträcka

Proportionellt (multiplikativt) resonemang

För två månader sedan mättes två granplantor. Den ena var 10 cm hög och den andra var 13 cm. Nu är de 14 respektive 17 cm höga. Vilken planta har vuxit mest?

Båda har vuxit 4 cm. De har vuxit lika mycket. Additivt resonemang.

Den ena har vuxit 4/10 och den andra 4/13. Multiplikativt resonemang.

Räta linjens ekvation

Proportionella samband (direkt proportionalitet) kan beskrivas y = k · x

y = 1,25 · x och y = 0,25 · x

K kallas riktningskoefficient

K anger hur mycket y-värdet ändras om x-värdet ändras med en enhet

Att bestämma riktningskoefficienten

y = k · x kan skrivas om som y/x=k

Exempel: linjens lutning ser ut som en trapp: 3 fram (x), 5 upp (y):

y/x = 5/3 = k

Negativ riktningskoefficient

Negativ: y= - 5/3 ∙ x (linjen går i andra kvadranten och fjärde)

Positiv: y= 5/3 ∙ x (linjen går i första kvadranten och tredje)

Linjen y = k · x + m

y = k · x räcker inte till för att beskriva alla räta linjer

Exempel:

Båda linjerna har riktningskoefficienten 2 (trappa 1 steg fram (x) och 2 upp (y))

M-värdet anger var grafen korsar y-axeln

y = 2 · x (går genom origo)

y = 2 · x + 8 (går genom 8 på y axeln)

Bild:

Tabell:

x = 0, 1, 2, 3, 4

y = 8, 10, 12, 14, 16

Räta linjens ekvation:

Formel för räta linjer som går genom origo

• y = k · x
• k är en riktningskoefficient

Formel för räta linjer som inte går genom origo

• y = k · x + m
• M är det värde där linjen korsat y -axeln