Begrepp i Aritmetik

Siffra och tal

Siffra: tecken som representerar ett naturligt tal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Tal: grundläggande matematiskt begrepp som i sin enklaste form anger antal eller ordning i följd. Ett tal representeras av en eller flera siffror.

Taltyper:

Naturliga tal = n

Det lilla barnets tal.
Tallinjen 0 och positivt framåt heltal.
Jämna och udda tal
Hela tal Primtal Delbarhet
Addition och multiplikation av naturliga tal ger naturliga tal, men subtraktion och division kräver andra typer av tal.

Heltal

De naturliga talen och de hela negativa talen bildar tillsammans de hela talen.
Division kräver en annan taltyp

Rationella tal

Alla tal som kan skrivas som bråk:
De hela talen
Decimaltal

Irrationella tal

Tal som ej kan skrivas som ett bråk.

Till exempel: π (trancendent), √2 (algebraiskt)

Reella tal

De rationella talen tillsammans med de irrationella talen är de reella talen.
Alla tal på tallinjen.

Komplexa tal

Ekvationer

Aritmetik - räknesätt

Terminologi

Subtraktion

3 - 2 = 1

term - term = differens (skillnad)

minuend-subtrahend

Subtrahera
beräkna differensen/skillnaden
ta bort
hur mycket mer/mindre

Addition

Kommutativ (omkastbar): Man kan byta plats på termerna a+b = b+a

Assosiativa lagen: (a+b)+c = a+(b+c)

3 + 2 = 5

term + term = summa

Addera
beräkna summan
lägga ihop tillsammans
Lägga till

Subtraktion av positiva heltal

Subtraktion innebär att ta bort eller beräkna skillnad eller beräkna vad som fattas.

Jag har 3 äpplen och äter upp 1. Då har jag 3-1 = 2 äpplen kvar.

Vi räknar ut 3-1 = 2 genom att utgå från 3 och ta bort 1.

Denna metod kallas borttagningsmetoden.

Jag har 3 äpplen och Lisa har ett äpple. Hur många fler äpplen har jag?

Jag har 3-1 = 2 äpplen fler än Lisa.

Vi räknar ut 3-1 = 2 genom att räkna ut skillnaden mellan 3 och 1.

Den här metoden kan kallas för utfyllnadsmetoden.

Jag vill ha 3 äpplen och har ett äpple. Hur många äpplen fattas?

Det fattas 3 - 1 = 2 äpplen.

Vi räknar ut 3 - 1=2 genom att räkna ut skillnaden mellan 3 och 1.

Den här metoden kan kallas för utfyllnadsmetoden.

Fem grundprinciper enligt Gelman och Gallistel

Principen om ett-till-ett-korrespondens
Princip om stabil ordning
Kardinalprincipen
Abstraktionsprincipen
Principen om irrelevant ordning

1. Principen om ett-till-ett korrespondens

Att förstå att ett räkneord kopplas till ett räknat objekt

Strategi för att uppskatta och jämföra antal

Aktiviteter

Duka
Dela ut saker (exempel på s. 68 barn och kex)
Brädspel

2. Principen om stabil ordning

Räkneordens ordningsföljd är alltid den samma

Aktiviteter

Räkneramsor
Sånger
Brädspel

Exempel på räkneramsor

Fem små apor hoppade i sängen...
Klockramsor (... klockan två, stå på tå; klockan tre, dricka te...)
Spindelmor har åtta ben...

3. Kardinalprincipen

Det sist nämnda räkneordet motsvarar den totala mängden uppräknade objekt.

Aktiviteter

Räkna antal barn t.ex. vid samling
Brädspel

4. Abstraktionsprincipen

Vilka föremål som helst kan ingå i en grupp som räknas

Aktiviteter

Räkna olika slags föremål
Leta efter olika saker som det finns ett visst antal av
Sortering och räkning

5. Principen om irrelevant ordning

En insikt i att man kan börja räkna från vilket objekt som helst och den totala mängden blir ändå densamma förutsatt att man räknar varje objekt en gång.

En mängd kan delas in i mindre delar på olika sätt men som tillsammans bildar samma mängd

Aktiviteter

Sortering
Antal lika, par, dubbelt, hälften, udda, jämna
Ordningstal första, andra, tredje..., varannan, sista

Viktiga punkter i den tidiga taluppfattningens lärande

Ett-till-ett-korrespondens
Kardinalitet
Hierarkisk inkludering
Kompensation
Del/helhets-relationer

Subitisering/subitizing

Spontan uppskattning, de flesta av forskarna anser att denna förmåga är medfödd

Hierarkisk inkludering

Det innebär att naturliga tal ökar med exakt ett i taget och att antalet i det föregående talet finns kvar inuti det nästkommande.

Exempel: 7 kolor, en tas bort, återstår 6 kolor

Kompensation

Exempel:

Om 6 + 1 = 7 så följer att 5 + 2 = 7

(1 flyttas från 6, då har vi 5 och 2)

Relation mellan delar och helhet

5 + 2 = 7 så följer att 7 -2 = 5 Exempel: Två tärningar. Den ena visar 2 och summan är 7. Då måste den andra visa 5.

Vanliga additionsstrategier

Dubblor och nästan dubblor

Eleven har automatiserat dubblorna t ex 2+2, 3+3, 4+4 osv. Sedan kan eleverna använda kunskapen om dubblorna för att snabbt räkna ut 3+4 som 1 mer än 3+3.

Utnyttja fem-strukturerna

Eleven utnyttjar kunskapen av hur talen kan delas upp när hen löser uttrycket 7+8 genom att dela upp talen utifrån 5-strukturer: 5+2+5+3.

Tiokamrater

Eleven har automatiserat alla talkombinationer som tillsammans bildar tio. Otroligt viktigt! Underlättar tiotalsövergångar.

Skapa 10

Eleven utnyttjar kunskapen om tiokamraterna och hur tal delas upp för att göra tiotalsövergångar när hen ska räkna ut uttryck som 9+7=10+6=16

Kompensera

Genom att lägga till och dra ifrån samma tal kan uttryck bli enklare t ex 6+8=7+7

26+99=100+25=125

Sammanföra tal med samma platsvärde

Eleven har kunskap om positionssystemet och räknar talsorterna var för sig. 5+12→17 eftersom 5+2=7

19+30→49 eftersom 1+3=4 tiotal och 9+0=9

Runda tal och överslagsräkning

Eleven tittar efter närmaste tiotal och rundar av talen för att enklare lösa uttrycket. 28+31≈30+30 (korrigera genom att dra bort 1)

Vanliga subtraktionsstrategier

Ta bort (borttagning)

9-3=6

72-6=72-2-4=66

Subtraktion genom att öka eller minska båda termerna lika mycket (kompensation)

21-8=23-10=13

87-41=86-40=46

Utfyllnad (komplettera)

Om talen i uttrycket ligger nära varandra är utfyllnad den mest effektiva strategin t ex

21-18= 3

803-799=1+3=4

Sammanföra tal med samma platsvärde

654-333=300+20+1=321

678-345=300+30+3=333

Dubblera och halvera

70-36=34 eftersom dubbelt så mycket som 35 är 70.

Runda tal och överslagsräkning

72-49≈72-50 (korrigera genom att lägga till 1)

Multiplikation och huvudräkning

Kommutativa lagen a∙b = b∙a

Associativa lagen a(b∙c) = (a∙b)c

Distributiva lagen a(b+c) = ab+ac

Runda tal och överslagsräkning

7∙99≈7∙100 (korrigera: 700-7)

Dubblera/halvera

4∙27=2∙54=108

12∙4= 6∙8=48

12∙5=12∙10∕2

Terminologi:

Multiplikation

3 · 4 = 12

faktor · faktor = produkt

multiplikator · multiplikand = produkt

Division och huvudräkning

Distributiva lagen (a+b)/c = a/c+b/c

Dubblera/halvera

112/4=56/2=28

135/5=270/10=27

Delning med 5 och 10

125/5=250/10=25

Terminologi:

Division

12 / 4 = 3

täljare / nämnare = kvot

Tolkningar av bråk

Del av en hel Tårtan
Del av ett antal Fyll i en eller flera av ett antal figurer.
Tal på tallinjen Visa bråk på tallinje.

Bråkform blandad form

5/4 = 1+1/4.

Att dividera med bråk ger samma resultat som att multiplicera med bråkets inverterade tal.

a/b / c/d = a/b · d/c